Question

17．如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？

Answer 1

分析 延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．

解答 解：如图，延长OC，AB交于点P．

∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA=$\frac{1}{2}$AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC•tan60°=2$\sqrt{3}$米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{BC}{OA}$，
∴PA=$\frac{PC•OA}{BC}$=$\frac{{2\sqrt{3}×10}}{2}$=10$\sqrt{3}$米，
∴AB=PA-PB=（10$\sqrt{3}$-4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10$\sqrt{3}$-4）米．

点评 本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．