Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，点A（6，0），∠BAO=30°．
（1）求点B的坐标；
（2）点P是线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以Q、O、B为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA与tan30°的值求出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，①当OP₁=P₁A时，连接OP₁，作P₁C₁⊥OA，则C₁为AO的中点，P₁C₁为△AOB的中位线，求出P₁C₁与OC₁的长，确定出此时P₁的坐标；
②当P₂A=AO时，连接OP₂，作P₂C₂⊥OA，可得出P₂A=AO=6，∠P₂AO=30°，在Rt△P₂AC中，求出P₂C与AC₂的长，进而确定出OC₂的长，确定出此时P₂的坐标即可；
（3）分三种情况考虑：当∠OBQ为直角时，如图2所示，再分两种情况考虑：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠CQB为直角时，如图3所示，再分两种情况考虑：③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
④若△QBO∽△OAB时，分别求出Q的坐标；当∠BOQ为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=6×

3

3

=2

3

，
则B坐标为（0，2

3

）；

（2）P为线段AB上的动点，若使△POA为等腰三角形，则有OP=PA或PA=AO两种情况，如图1所示，
①当OP₁=P₁A时，连接OP₁，作P₁C₁⊥OA，则C₁为AO的中点，P₁C₁为△AOB的中位线，
∴P₁C₁=

1

2

BO=

3

，OC₁=

1

2

OA=3，此时P₁（3，

3

）；
②当P₂A=AO时，连接OP₂，作P₂C₂⊥OA，
∵P₂A=AO=6，∠P₂AO=30°，
∴在Rt△P₂AC中，P₂C=

1

2

P₂A=3，AC₂=P₂Acos30°=3

3

，
则OC₂=OA-C₂A=6-3

3

，即P₂（6-3

3

，3）；

（3）当∠OBQ为直角时，如图2所示，
①若△BQO∽△OAB，则∠BOQ=∠OAB=30°，
则BQ=OBtan30°=2，即Q（2，2

3

）；
②若△BQO∽△OAB时，则∠BOQ=∠OAB=30°，
BQ=OBtan60°=2

3

×

3

=6，即Q（6，2

3

）；
当∠CQB为直角时，如图3所示，
③过O作OQ⊥AB，此时△QOB∽△OAB，
∠BOQ=∠BAO=30°，
在Rt△OQB中，BQ=

1

2

OA=

3

，OQ=OBcos30°=3，
∵在Rt△QMO中，∠OQM=30°，
∴OM=

1

2

OQ=

3

2

，QM=OQcos30°=

3 2

2

，即Q（

3

2

，

3 2

2

）；
④若△QBO∽△OAB时，则∠OBQ=∠OAB=30°，作QN⊥OA，∠QON=30°，如图4所示，
∴QN=

1

2

OQ=

1

2

×

1

2

OB=

3

2

，ON=OQcos30°=

3

2

，即Q（

3

2

，

3

2

）；
当∠BOQ为直角时，Q在x轴上，不符合要求，
综上，符合题意的点Q有四个，分别为Q₁（2，2

3

），Q₂（6，2

3

），Q₃（

3

2

，

3 2

2

），Q₄（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，中位线定理，相似三角形的性质，坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二、三问分别根据P与Q的不同位置分类求解．