Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点。

（1）求M、D两点的坐标；
（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；
（3）过P作PH⊥BC，垂足为H，当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积。

Answer 1

解：（1）M（4，1），D（，0）；
（2）∵PA=PB，
∴点P在线段AB的中垂线上，
∴点P的纵坐标是1，
又∵点P在y=-x+上，
∴点P的坐标为（，1）；
（3）设P（x，y），连接PN、MN、NF，
∵点P在y=-x+上，
∴P（x，-x+），
依题意知：PN⊥MN，FN⊥BC，F是圆心，
∴N是线段HB的中点，HN=NB=，PH=2-（-x+）=x+，BM=1，
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°，
∴∠HPN=∠BNM，又∠PHN=∠B=90°，
∴Rt△PNH∽Rt△NMB，
∴，
∴，
∴，
解得舍去），，
。