Question

8．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4与x轴交于A（2，0）、B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第二象限的点P，若PC=PD，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A点坐标代入即可求出；
（2）直接用对称轴公式与顶点坐示公式计算即可；
（3）连接BP，则BP直角角三角形斜边CD上的中线，即BP=CP，连接OP，可证△BPO与△CPO全等，从而OP平分∠BOC，设出P点坐标代入抛物线解析式即可解出．

解答 解：（1）将A（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+4得b=-1．
（2）对称轴$-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2×（-\frac{1}{2}）}=-1$．
$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=4-\frac{（-1）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}=\frac{9}{2}$，
∴顶点坐标：（-1，$\frac{9}{2}$）．
（3）连接PB，PO，如图，

令$-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4=0$，解得x₁=-4，x₂=2，
∴B（-4，0），
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴OB=OC，
在Rt△BDC中，∵PC=PD，
∴BP=PC，
在△BPO和△CPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=PC}\\{PO=PO}\\{CO=BO}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△CPO（SSS），
∴OP平分∠COB，
设P（m，-m），
则有$-\frac{1}{2}{a}^{2}-a+4=-a$，解得：m=$±2\sqrt{2}$，
又P在第二象限，
∴P（$-2\sqrt{2}$，$2\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线的对称轴公式与顶点坐标公式、直角三角形斜中线定理、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等多个知识点，有一定综合性，难度适中．第（3）问当中，证明△BPO≌△CPO是关键．