Question

3．如图1，抛物线y=ax²+2ax+a-4顶点为A，与x轴交于点B、C（点C在点B左侧），AB交y轴于点D，连结OA，已知OD恰好平分△OAB的面积．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为M，则在抛物线上是否存在点N，使得四边形CBMN的面积最大？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，设过点P（-4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在抛物线上，且在对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．已知直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似，请直接写出符合题意的直线m的解析式．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，利用三角形的相似求出点B的坐标，进而求出a的值；
（2）设N（a，a²+2a-3），y_CM=-x-3，求出△CNM的面积最大值，即可求出四边形CBMN的面积最大值；
（3）分两种情况进行讨论：①直线l和直线m垂直，根据两直线关系求出直线m的解析式；②当直线m的斜率大于直线l的斜率时，画出图形，利用三角形相似的性质解答，求出直线m的斜率k即可．

解答 解：（1）A（-1，-4），
作AH⊥BC于H，如图1，
∵OD恰好平分△OAB的面积，
∴BD：AB=1：2，
由△DOB∽△AHB，
得BO：BH=BD：AB=1：2，
∴B（1，0），
则解析式为y=x²+2x-3；
（2）M（0，-3）
设N（a，a²+2a-3），y_CM=-x-3，
S_△CMN=$\frac{1}{2}$[（-a-3）-（a²+2a-3）]×3=-$\frac{3}{2}$（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
当△CNM的面积最大时，四边形CBMN的面积最大．
则N（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∵点P（-4，0），Q（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{1}{2}$，n=2，
∴y=$\frac{1}{2}$x+2，
设直线m的解析式为y=k（x+3），
如图2，
设直线m和l相交于点F，
当l和m垂直时，△PFC和△EFQ相似，
则直线m的斜率为-2，
则直线m的解析式为y=-2x-6；
如图3，
设直线m和l的交点为M，直线m与y轴的交点为N，k＞$\frac{1}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=k（x+3）}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{4-6k}{2k-1}$，y=$\frac{k}{2k-1}$，
则点M的坐标为（$\frac{4-6k}{2k-1}$，$\frac{k}{2k-1}$），
若△PMC∽△NMQ，
则$\frac{3k-2}{1}=\frac{\frac{6k-4}{2k-1}}{\frac{k}{2k-1}}$，
解得k=2，
故直线m的解析式为y=2x+6．
综上所述直线m的解析式为y=-2x-6或y=2x+6．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、求两直线的交点坐标等知识，解答（2）问的关键是求出△CMN的面积最大值，解答（3）问的关键是正确地作出图形，利用三角形相似定理进行解答，此题有一定的难度．