Question

2．如图，AB=AC，弦BD⊥AC于点E．
（1）求证：BD-CD=2ED；
（2）若BD=11，CD=5，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）在EB上截取EF=ED，如图，则CE垂直平分DF，根据等腰三角形的判定与性质得CD=CF，∠1=∠2，加上∠2+∠3=∠4+∠5，∠1=∠5，易得∠3=∠4，所以FB=FC，则FB=CD，而BD-BF=DF=2ED，所以BD-CD=2ED；
（2）由（1）的结论可计算出ED=3，在Rt△CDE中，利用勾股定理计算出CE=4，设AB=x，则AC=x，AE=x-4，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理得到8²+（x-4）²=x²，然后解方程求出x即可．

解答 （1）证明：在EB上截取EF=ED，如图，
∵BD⊥AC，
∴CE垂直平分DF，
∴CD=CF，∠1=∠2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，即∠2+∠3=∠4+∠5，
而∠1=∠5，
∴∠3=∠4，
∴FB=FC，
∴FB=CD，
∴BD-BF=DF=2ED，
即BD-CD=2ED；
（2）解：∵BD=11，CD=5，
∴2ED=11-5，解得ED=3，
在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
设AB=x，则AC=x，
∴AE=x-4，
而BE=BD-DE=11-3=8，
在Rt△ABE中，8²+（x-4）²=x²，解得x=10，
即AB的长为10．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理．