Question

6．如图，AB，CD分别是⊙O的弦和直径，AB⊥CD于点E，若CD=10，AB=8，则sin∠ACD的值为（　　）

• A． 30°
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图，作辅助线；运用射影定理分别求出DE、CE、AC的长度，借助正弦函数的定义即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD；
∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB，
∴∠DAC=90°，AE=BE=4；
设DE=λ，则CE=10-λ，
由射影定理得：4²=λ（10-λ），
解得：λ=2或8（设去），
∴CE=10-2=8，
由射影定理得：AC²=CE•CD，
解得：AC=4$\sqrt{5}$，
∴sin∠ACD=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选C．

点评 该题主要考查了垂径定理、射影定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用垂径定理、射影定理等几何知识点来分析、判断、解答．