Question

14．已知三个自然数a，b，c中至少a为质数，且满足$\left\{\begin{array}{l}{（4a+2b-4c）^{2}=443（2a-442b+884c）}\\{\sqrt{4a+2b-4c+886}-\sqrt{442b-2a+2c-443}=\sqrt{443}}\end{array}\right.$，试求abc的值．

Answer 1

分析 首先将已知条件变形得出2a+b-2c是443的倍数，进而令2a+b-2c=443k，再得出a与k的函数关系式，进而利用a为质数得出a的值，进而结合所求得出b，c的值．

解答 解：由已知可得：2（2a+b-2c）²=443（a-221b+442c），
由于443是质数，故2a+b-2c是443的倍数，
令2a+b-2c=443k①，
∴a-221b+442c=886k²②，
①-②得：a+222b-444c=443k-886k²，
∴a=443k-886k²+222（2c-b），
①+②得：886c-443b=1772k²-443k，
∴2c-b=4k²-k，
∴a=443k-886k²+222（4k²-k）=2k²+221k=k（2k+221）
由于a为质数，2k+221≠1，
故k=1，a=2k+221=223，
将①②代入原方程得：
代入（2）得：$\sqrt{886k+886}$-$\sqrt{886c-443-1772{k}^{2}}$=$\sqrt{443}$，
∴$\sqrt{2k+2}$-$\sqrt{2c-1-4{k}^{2}}$=1，
∴2-$\sqrt{2c-2}$=1，
解得：c=3，
∴6-b=3，从而b=3，
∴abc=2007．

点评 此题主要考查了质数的应用，根据题意得出2a+b-2c是443的倍数，进而利用换元法得出a的值是解题关键．