Question

在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，P为AB上一动点，PM⊥AO，以O为圆心OP为半径画⊙O．
（1）当PM²=AM•OM时，求证：AB是⊙O的切线；
（2）当P在运动的过程中，⊙O与线段AB交于另一点E，分别过P，E作AO的垂线如图所示，求PM+EN的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由PM²=AM•OM，结合∠AMP=∠OMP，可证得△AMP∽△PMO，可得∠APM=∠POM，可得到∠APM+∠OPM=90°，可知AB为⊙O的切线；
（2）过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，可知QR为梯形MNEP的中位线，易求得AQ再由AR：AQ=AO：AB，可求得QR，从而可求得PM+EN．

解答：（1）证明：∵PM⊥AO，
∴∠AMP=∠PMO，
∵PM²=AM•OM，
∴

AM

PM

=

PM

MO

，
∴△AMP∽△PMO，
∴∠APM=∠POM，
∴∠APM+∠OPM=∠POM+∠OPM=90°，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：如图，过O作OQ⊥AB于Q，则Q为PE中点，过Q作QR∥OB交AO于R，则R为MN中点，

∴QR为梯形MNEP的中位线，
∴PM+NE=2QR，
又AO=6，BO=8，
∴AB=10，
∴OQ=

24

5

，
在Rt△AQO中由勾股定理可求得AQ=

18

5

，
∵QR∥OB，
∴

AQ

AB

=

QR

OB

，即

18 5

10

=

QR

8

，
解得QR=

72

25

，
∴PM+NE=

144

25

．

点评：本题主要考查切线的性质和判定及相似三角形的判定，在第（2）问中把PM+EN转化为求QR的长是解题的关键．