Question

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×$\frac{2}{3}$=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．再根据旋转的性质得出BC=DC=6，AC=EC=3$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=4$\sqrt{5}$．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•cosB=9×$\frac{2}{3}$=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3$\sqrt{5}$，cos∠CAN=cosB=$\frac{2}{3}$，
∴AN=AC•cos∠CAN=3$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=2AN=4$\sqrt{5}$．
故答案为4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．