Question

5．如图，在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，且BE与CE相交于AD上同一点，若BE=12cm，CE=5cm．
（1）试判断△BCE的形状，并求BC的长；
（2）求证：点E为AD的中点；
（3）求AB的长；
（4）求?ABCD的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）根据在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，可以得到∠BEC的度数，从而可以判断△BCE的形状，根据BE=12cm，CE=5cm，可以求得BC的长；
（2）根据?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，进行合理的转化，从而可以证明结论成立；
（3）根据题意和（1）（2）小题的结果，可以得到AB的长；
（4）由题意可以求得?ABCD的周长，要求?ABCD的面积只要求出△BEC的面积即可，如果以BC做底边则△BEC和?ABCD是同底等高的，由BE=12cm，CE=5cm，∠BEC=90°，从而可以解答本题．

解答 解：（1）△BCE是直角三角形，
理由：∵在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BCE是直角三角形；
∵∠BEC=90°，BE=12cm，CE=5cm，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}=13$cm；
（2）证明：∵在?ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AB=CD，AD∥BC，∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD，
∴∠AEB=∠EBC，∠BCE=∠CED，
∴∠ABE=∠AEB，∠CED=∠ECD，
∴AB=AE，DE=DC，
∵AB=DC，
∴AE=DE，
∴点E是AD的中点；
（3）∵在?ABCD中，点E为CD的中点，BC=13cm，
∴AD=BC=13cm，
由（2）知，AB=$\frac{1}{2}$AD，
∴AB=6.5cm；
（4）∵在?ABCD中，AB=CD=6.5cm，AD=BC=13cm，
∴?ABCD的周长是：6.5+13+6.5+13=39cm，
∵△BEC是直角三角形，BE=12cm，CE=5cm，∠BEC=90°，
∴△BEC的面积是：12×5÷2=30cm²，
∴?ABCD的面积是：2×30=60cm²．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和数形结合的思想解答问题．