Question

如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（-3，0），经过A、O两点作半径为

5

2

的⊙C，交y轴的负半轴于点B．
（1）求B点的坐标；
（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于∠AOB=90°，故AB是直径，且AB=5在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO=

AB2-AO2

=

52-32

=4，则B点的坐标为（0，-4）；
（2）由于BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，故BD⊥AB，即∠ABD=90°，有∠DAB+∠ADB=90°，又因为∠BDO+∠OBD=90°，所以∠DAB=∠DBO，由于∠AOB=∠BOD=90°，故△ABO∽△BDO，

OA

OB

=

OB

OD

，OD=

OB2

OA

=

42

3

=

16

3

，D的坐标为（

16

3

，0），把B，D两点坐标代入一次函数的解析式便可求出k，b的值，从而求出其解析式．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，且AB=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得BO=

AB2-AO2

=

52-32

=4，
∴B点的坐标为（0，-4）；

（2）∵BD是⊙C的切线，CB是⊙C的半径，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠ADB=90°
又∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠DAB=∠DBO，
∵∠AOB=∠BOD=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴

OA

OB

=

OB

OD

，
∴OD=

OB2

OA

=

42

3

=

16

3

，
∴D的坐标为（

16

3

，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则有

16 3 k+b=0 b=-4

，∴

k= 3 4 b=-4

，
∴直线BD的解析式为y=

3

4

x-4．

点评：此题较复杂，把一次函数与圆的相关知识相结合，利用勾股定理及相似三角形的性质解答，是中学阶段的重点内容．