Question

13．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为3和2，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）写出这个二次函数的顶点坐标与对称轴；
（3）连接AC、BC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为3和2，可以得到点A、B的坐标，从而可以得到这个二次函数的表达式；
（2）将第（1）问中求得的函数解析式化为顶点式，即可得到这个二次函数的顶点坐标与对称轴；
（3）根据第（1）问的解析式可以求得与y轴的交点，从而可以得到点C的坐标，由于A、B的坐标已知，从而可以求出△ABC的面积．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为3和2，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$
解得，b=5，c=-6，
即这个二次函数的表达式是：y=-x²+5x-6；
（2）∵y=-x²+5x-6=$-（{x}^{2}-5x）-6=-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∴这个二次函数的顶点坐标是（$\frac{5}{2}，\frac{1}{4}$），对称轴是直线x=$\frac{5}{2}$；
（3）∵y=-x²+5x-6与y轴交于点C，
∴x=0时，y=-6，
∴点C的坐标为（0，-6），
又∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（2，0），
∴${S}_{△ABC}=\frac{（3-2）×|-6|}{2}=3$，
即△ABC的面积是3．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点和用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．