Question

如图，已知△ABC是锐角三角形，BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，BE、CF相交于点O，
（1）若∠A=50°，求∠BOC的度数．
（2）∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后在△OBC中，利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解；
（2）根据（1）的思路证明即可．

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°，
∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×130°=65°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°；

（2）∠BOC=90°+

1

2

∠A．理由如下：
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BE、CF分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
即∠BOC=90°+

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．