Question

【题目】如图所示，已知AB是圆O的直径，圆O过BC的中点D，且DE⊥AC．

（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圆O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵D是BC的中点，O为AB的中点，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD为半径，

∴DE是圆O的切线

（2）解：连接AD；

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°=∠ADC，

∴△ADC是直角三角形．

∵∠C=30°，CD=10，

∴AD= ．

∵OD∥AC，OD=OB，

∴∠B=30°，

∴△OAD是等边三角形，

∴OD=AD= ，

∴圆O的半径为 cm．

【解析】（1）连接OD，利用三角形的中位线定理可得出OD∥AC，再利用平行线的性质就可证明DE是圆O的切线．（2）利用30°特殊角度，可求出AD的长，由两直线平行同位角相等，可得出∠ODB=∠C=30°，从而△ABD为直角三角形，圆O的半径可求．