Question

14．如图，已知：B是线段AD上的一点，△ABC、△BDE均为等边三角形，AE交BC于P，CD交BE于Q．则下列结论成立的有（　　）
（1）AE=CD；（2）BP=BQ；（3）PQ∥AD；（4）CQ=CA；（5）EP=QD．

• A． 5个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，证出∠ABE=∠CBD，由SAS证明△ABE≌△CBD，得出AE=CD，（1）正确；
由全等三角形的性质得出∠BAP=∠BCQ，证出∠ABC=∠CBQ=60°，由ASA证明△ABP≌△CBQ，得出BP=BQ，（2）正确；
由全等三角形的性质得出CQ=AP≠CA，（4）不正确；
证明△PBQ是等边三角形，得出∠BPQ=60°=∠ABC，由平行线的判定方法得出PQ∥AD，（3）正确；
由AE=CD，AP=CQ，得出EP=QD，（5）正确；即可得出结论．

解答 解：∵△ABC、△BDE均为等边三角形，∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，
∴180°-∠EBD=180°-∠ABC，
即∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBD}&{\;}\\{BE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，（1）正确；
∴∠BAP=∠BCQ，
∵∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ABC=∠CBQ=60°，
在△ABP与△CBQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BCQ}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABC=∠CBQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBQ（ASA），
∴BP=BQ，（2）正确；
CQ=AP≠CA，（4）不正确；
∵∠CBQ=60°，BP=BQ，
∴△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°=∠ABC，
∴PQ∥AD，（3）正确；
∵AE=CD，AP=CQ，
∴EP=QD，（5）正确；
正确的结论有4个．故选：D．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、平行线的判定等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键．