Question

如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：

（1）∠DBM=∠CDE； （2）S_△BDE＜S_{四边形BMFE}；

（3）CD•EN=BN•BD； （4）AC=2DF．

其中正确结论的个数是（　　）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

Answer 1

C． 解：（1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°﹣x

∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，

∵BD=DE，

∴∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x．

∴∠DBM=∠CDE，故（1）正确；

（2）在Rt△BDM和Rt△DEF中，

，

∴Rt△BDM≌Rt△DEF．

∴S_△BDM=S_△DEF．

∴S_△BDM﹣S_△DMN=S_△DEF﹣S_△DMN，即S_△DBN=S_{四边形MNEF}．

∴S_△DBN+S_△BNE=S_{四边形MNEF}+S_△BNE，

∴S_△BDE=S_{四边形BMFE}，故（2）错误；

（3）∵∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM，

∴∠BNE=∠BDM．

又∵∠C=∠NBE=45°

∴△DBC∽△NEB．

∴，

∴CD•EN=BN•BD；故（3）正确；

（4）∵Rt△BDM≌Rt△DEF，

∴BM=DF，

∵∠B=90°，M是AC的中点，

∴BM=．

∴DF=，故（4）正确．