Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）求点B的坐标；
（3）求直线AB的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）OB=OA=2，推出AP∥x轴，推出AP⊥OA，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出PA=PB=4，根据勾股定理得出x²+y²=2²，4²=（x-4）²+（y-2）²，求出x=0，y=2（舍去）或x=，y=-，即可得出B的坐标；
（3）求出A（0，2），设直线AB的解析式是y=kx+2，把B的坐标代入求出k即可．
解答：（1）证明：∵以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交点A，
∴OA=2，
∵P（4，2），
∴AP∥x轴，
∵y轴⊥x轴，
∴AP⊥OA，
∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：设B（x，y），
∵OB=2，
∴x²+y²=2²，①
∵P（4，2），PA和PB都是⊙O切线，
∴PA=PB=4，
∴4²=（x-4）²+（y-2）²，②，
解由①②组成的方程组得：x=0，y=2（舍去）或x=，y=-，
∴B的坐标是（，-）；

（3）解：∵OA=2，
∴A（0，2），
∴设直线AB的解析式是y=kx+2，
把B的坐标代入得：-=k+2，
k=-2，
即直线AB的解析式是y=-2x+2．
点评：本题考查了切线长定理，切线的性质和判定，勾股定理，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力．