Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，3），M是抛物线对称轴上的任意一点，则△AMC的周长最小值是________．

Answer 1

+5
分析：连接BC，与抛物线的对称轴交于M，连接AM，AC，由A与B关于抛物线对称轴对称，利用两点之间线段最短得到此时△AMC的周长最小，其值等于AC+AM+CM，再由线段垂直平分线定理得到MA=MB，等量代换可得出周长最小值为AC+BC，由A、B、C三点的坐标得到OA、OB、OC的长，在直角三角形AOC与直角三角形BOC中，利用勾股定理分别求出AC与BC的长，即可得到三角形AMC周长的最小值．
解答：解：连接BC，与抛物线的对称轴交于M，连接AM，AC，此时△AMC的周长最小，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA=1，OB=4，OC=3，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC==5，
∵A与B关于抛物线对称轴对称，
∴MA=MB，
则△ACM周长最小值为AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC=+5．
故答案为：+5
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及轴对称-最短路线问题，根据题意得出周长最小值为AC+BC是解本题的关键．