Question

如图，已知△ABC，BC=5，AB=4，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形，则图中阴影部分的面积之和的最大值是　　　　　　．

　

Answer 1

　30　．

 

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积；正方形的性质．

【分析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°得到△BCH′，然后判断出A、C、H′三点共线，再根据等底等高的三角形的面积相等可得S_△BCH′=S_△ABC，即S_△CFH=S_△ABC，同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，从而得到阴影部分的面积的和=3S_△ABC，再根据三角形的面积公式，当AB⊥BC时，面积最大列式计算即可得解．

【解答】解：如图，把△CFH绕点C顺时针旋转90°得到△BCH′，

∵Ⅱ表示正方形，

∴AC=CH=CH′，∠ACH+∠BCH′=360°﹣90°×2=180°，

∴A、C、H′三点共线，

∴S_△BCH′=S_△ABC，

∴S_△CFH=S_△ABC，

同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，

∴阴影部分的面积的和=3S_△ABC，

∵BC=5，AB=4，

∴当AB⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为S_△ABC=AB•AC=×4×5=10，

∴三个阴影部分的面积之和的最大值为3×10=30．

【点评】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，利用旋转的性质作辅助线判断出每一个阴影部分的面积等于△ABC的面积是解题的关键，也是本题的难点．