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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c是常数)经过A(0,2)、B(4,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;

(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线ABM,交这条抛物线于N,求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?

(3)在(1)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,请直接写出第四个顶点D的所有坐标(直接写出结果,不必写解答过程)

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;抛物线的顶点坐标为();(2)t=2时,MN有最大值,最大值为4;(3)D点坐标为(0,6)或(0,﹣2)或(4,4).

【解析】分析:1)把AB两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c得关于bc方程组则解方程组即可得到抛物线解析式然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标

2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+2Nt,﹣t2+t+2)(0t4),Nt,﹣t+2),MN=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2),然后利用二次函数的性质解决问题

3)由(2)得N25),M21),如图利用平行四边形的性质进行讨论MN为平行四边形的边时利用MNADMN=AD=4和确定定义D点坐标MN为平行四边形的对角线时利用ANMNAN=MD和点平移的坐标规律写出对应D点坐标.

详解:(1)把A02)、B40)代入抛物线y=﹣x2+bx+c解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2

y=﹣x2+x+2=﹣(x2+∴抛物线的顶点坐标为();

2)设直线AB的解析式为y=mx+nA02)、B40)代入得解得∴直线AB的解析式为y=﹣x+2Nt,﹣t2+t+2)(0t4),Nt,﹣t+2),MN=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+4t =﹣(t22+4

t=2MN有最大值最大值为4

3)由(2)得N25),M21),如图MN为平行四边形的边时MNADMN=AD=4D106),D20,﹣2),MN为平行四边形的对角线时ANMNAN=MD由于点A向右平移2个单位再向上平移3个单位得到N则点M向右平移2个单位再向上平移3个单位得到DD3的坐标为(44).

综上所述D点坐标为(06)或(0,﹣2)或(44).

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某商场同时购进甲、乙两种商品共200件,其进价和售价如表,

商品名称

进价(元/件)

80

100

售价(元/件)

160

240

设其中甲种商品购进x件,该商场售完这200件商品的总利润为y元.

1)求yx的函数关系式;

2)该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品,则至少要购进多少件甲商品?若售完这些商品,则商场可获得的最大利润是多少元?

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】(问题提出):分解因式:(12x2+2xy3x3y;(2a2b2+4a4b

(问题探究):某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究:

探究1:分解因式:(12x2+2xy3x3y

该多项式不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解.于是仔细观察多项式的特点.甲发现该多项式前两项有公因式2x,后两项有公因式﹣3,分别把它们提出来,剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解.

解:2x2+2xy3x3y=(2x2+2xy)﹣(3x+3y)=2xx+y)﹣3x+y)=(x+y)(2x3

另:乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y,第一项和第三项含有公因式x,把yx提出来,剩下的是相同因式(2x3),可以继续用提公因式法分解.

解:2x2+2xy3x3y=(2x23x)+(2xy3y)=x2x3)+y2x3)=(2x3)(x+y

探究2:分解因式:(2a2b2+4a4b

该多项式亦不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解,于是若将此题按探究1的方法分组,将含有a的项分在一组即a2+4aaa+4),含有b的项一组即﹣b24b=﹣bb+4),但发现aa+4)与﹣bb+4)再没有公因式可提,无法再分解下去.于是再仔细观察发现,若先将a2b2看作一组应用平方差公式,其余两项看作一组,提出公因式4,则可继续再提出因式,从而达到分解因式的目的.

解:a2b2+4a4b=(a2b2)+(4a4b)=(a+b)(ab)+4ab)=(ab)(4+a+b

(方法总结):对不能直接使用提取公因式法,公式法进行分解因式的多项式,我们可考虑把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法,而是通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的.

(学以致用):尝试运用分组分解法解答下列问题:

1)分解因式:

2)分解因式:

(拓展提升):

3)尝试运用以上思路分解因式:

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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°CDAB于点DAO平分∠BAC,交CD于点OEAB上一点,且AE=AC

1)求证:△AOC≌△AOE

2)求证:OEBC

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【题目】如图,在△ABC中,DAB中点,EAC中点,FBC中点,请填空:

1)四边形BDEF   四边形;

2)若四边形BDEF是菱形,则△ABC满足的条件是   

3)若四边形BDEF是矩形,则△ABC满足的条件是   

4)若四边形BDEF是正方形,则△ABC满足的条件是   

并就(2)、(3)、(4)中选取一个进行证明.

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【题目】如图,把8块相同的小长方形地砖拼成一块大长方形地砖.

1)每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)

2)小明想用一块面积为的正方形地毯,沿着边的方向裁剪出一块新的长方形地毯,用来盖住这块大长方形地砖你帮小明算一算,他能剪出符合要求的地毯吗?

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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q是CD上一动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于N点,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;

②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值。其中一定成立的是_______.

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【题目】ABCD中,ABBC9,∠BCD120°.点M从点A出发沿射线AB方向移动.同时点N从点B出发,以相同的速度沿射线BC方向移动,连接ANCM,直线ANCM相交于点P

1)如图甲,当点MN分别在边ABBC上时,

求证:ANCM

连接MN,当△BMN是直角三角形时,求AM的值.

2)当MN分别在边ABBC的延长线上时,在图乙中画出点P,并直接写出∠CPN的度数.

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【题目】抛物线y=ax2+bx+3a0)经过点A10),B0),且与y轴相交于点C

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)求∠ACB的度数;

(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DEAC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.

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