【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c是常数)经过A(0,2)、B(4,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这条抛物线于N,求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(1)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,请直接写出第四个顶点D的所有坐标(直接写出结果,不必写解答过程)
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;抛物线的顶点坐标为(,);(2)t=2时,MN有最大值,最大值为4;(3)D点坐标为(0,6)或(0,﹣2)或(4,4).
【解析】分析:(1)把A、B两点坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c得关于b、c方程组,则解方程组即可得到抛物线解析式;然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标;
(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=﹣x+2,设N(t,﹣t2+t+2)(0<t<4),则N(t,﹣t+2),则MN=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2),然后利用二次函数的性质解决问题;
(3)由(2)得N(2,5),M(2,1),如图,利用平行四边形的性质进行讨论:当MN为平行四边形的边时,利用MN∥AD,MN=AD=4和确定定义D点坐标,当MN为平行四边形的对角线时,利用AN∥MN,AN=MD和点平移的坐标规律写出对应D点坐标.
详解:(1)把A(0,2)、B(4,0)代入抛物线y=﹣x2+bx+c得,解得:,∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+,∴抛物线的顶点坐标为();
(2)设直线AB的解析式为y=mx+n,把A(0,2)、B(4,0)代入得:,解得:,∴直线AB的解析式为y=﹣x+2,设N(t,﹣t2+t+2)(0<t<4),则N(t,﹣t+2),∴MN=﹣t2+t+2﹣(﹣t+2)=﹣t2+4t =﹣(t﹣2)2+4,
当t=2时,MN有最大值,最大值为4;
(3)由(2)得N(2,5),M(2,1),如图,当MN为平行四边形的边时,MN∥AD,MN=AD=4,则D1(0,6),D2(0,﹣2),当MN为平行四边形的对角线时,AN∥MN,AN=MD,由于点A向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到N点,则点M向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到D点,则D3的坐标为(4,4).
综上所述:D点坐标为(0,6)或(0,﹣2)或(4,4).
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【题目】某商场同时购进甲、乙两种商品共200件,其进价和售价如表,
商品名称 | 甲 | 乙 |
进价(元/件) | 80 | 100 |
售价(元/件) | 160 | 240 |
设其中甲种商品购进x件,该商场售完这200件商品的总利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品,则至少要购进多少件甲商品?若售完这些商品,则商场可获得的最大利润是多少元?
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【题目】(问题提出):分解因式:(1)2x2+2xy﹣3x﹣3y;(2)a2﹣b2+4a﹣4b
(问题探究):某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究:
探究1:分解因式:(1)2x2+2xy﹣3x﹣3y
该多项式不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解.于是仔细观察多项式的特点.甲发现该多项式前两项有公因式2x,后两项有公因式﹣3,分别把它们提出来,剩下的是相同因式(x+y),可以继续用提公因式法分解.
解:2x2+2xy﹣3x﹣3y=(2x2+2xy)﹣(3x+3y)=2x(x+y)﹣3(x+y)=(x+y)(2x﹣3)
另:乙发现该多项式的第二项和第四项含有公因式y,第一项和第三项含有公因式x,把y、x提出来,剩下的是相同因式(2x﹣3),可以继续用提公因式法分解.
解:2x2+2xy﹣3x﹣3y=(2x2﹣3x)+(2xy﹣3y)=x(2x﹣3)+y(2x﹣3)=(2x﹣3)(x+y)
探究2:分解因式:(2)a2﹣b2+4a﹣4b
该多项式亦不能直接使用提取公因式法,公式法进行因式分解,于是若将此题按探究1的方法分组,将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4),含有b的项一组即﹣b2﹣4b=﹣b(b+4),但发现a(a+4)与﹣b(b+4)再没有公因式可提,无法再分解下去.于是再仔细观察发现,若先将a2﹣b2看作一组应用平方差公式,其余两项看作一组,提出公因式4,则可继续再提出因式,从而达到分解因式的目的.
解:a2﹣b2+4a﹣4b=(a2﹣b2)+(4a﹣4b)=(a+b)(a﹣b)+4(a﹣b)=(a﹣b)(4+a+b)
(方法总结):对不能直接使用提取公因式法,公式法进行分解因式的多项式,我们可考虑把被分解的多项式分成若干组,分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解,然后,综合起来,再从总体上按“基本方法”继续进行分解,直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.
分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法,而是通过对多项式进行适当的分组,把多项式转化为可以应用“基本方法”分解的结构形式,使之具有公因式,或者符合公式的特点等,从而达到可以利用“基本方法”进行分解因式的目的.
(学以致用):尝试运用分组分解法解答下列问题:
(1)分解因式:
(2)分解因式:
(拓展提升):
(3)尝试运用以上思路分解因式:
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AO平分∠BAC,交CD于点O,E为AB上一点,且AE=AC。
(1)求证:△AOC≌△AOE;
(2)求证:OE∥BC。
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【题目】如图,在△ABC中,D是AB中点,E是AC中点,F是BC中点,请填空:
(1)四边形BDEF是 四边形;
(2)若四边形BDEF是菱形,则△ABC满足的条件是 .
(3)若四边形BDEF是矩形,则△ABC满足的条件是 .
(4)若四边形BDEF是正方形,则△ABC满足的条件是 .
并就(2)、(3)、(4)中选取一个进行证明.
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【题目】如图,把8块相同的小长方形地砖拼成一块大长方形地砖.
(1)每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
(2)小明想用一块面积为的正方形地毯,沿着边的方向裁剪出一块新的长方形地毯,用来盖住这块大长方形地砖你帮小明算一算,他能剪出符合要求的地毯吗?
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【题目】如图,边长一定的正方形ABCD,Q是CD上一动点,AQ交BD于点M,过M作MN⊥AQ交BC于N点,作NP⊥BD于点P,连接NQ,下列结论:①AM=MN;
②MP=BD;③BN+DQ=NQ;④为定值。其中一定成立的是_______.
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【题目】在ABCD中,AB=BC=9,∠BCD=120°.点M从点A出发沿射线AB方向移动.同时点N从点B出发,以相同的速度沿射线BC方向移动,连接AN,CM,直线AN、CM相交于点P.
(1)如图甲,当点M、N分别在边AB、BC上时,
①求证:AN=CM;
②连接MN,当△BMN是直角三角形时,求AM的值.
(2)当M、N分别在边AB、BC的延长线上时,在图乙中画出点P,并直接写出∠CPN的度数.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(﹣1,0),B(,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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