Question

【题目】问题提出

（1）如图①，在中，，，，则的周长为_________；

问题探究

（2）如图②，四边形中，，，，求四边形的面积；

问题解决．

（3）如图③，某农业技术中心为新品种试验而修建了形状为四边形的试验田，、、是田间小路，点在上，点在上，，，，其中道路的长度为100米，计划在四个三角形区域内种植不同的农作物，为及时了解农作物的生长情况，中心决定在点、处各架设监控器一台，处的监控器的观察范围为，处的监控器的观察范围为，经测量，，，请探究四边形区域的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）32：（3）

【解析】

（1）过点A作AD⊥BC，将问题转化成解直角三角形问题，通过解直角三角形即可求出三角形三边的长，从而得出三角形的周长.

（2）通过将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAD1，构造出全等三角形，将求不规则四边形面积的问题转化成三角形面积问题.

（3）通过旋转构造△ABD≌△CBD1，作DH⊥BD1，得出DH的长，求出△BDD1的面积，根据已知条件求出∠BCD1=135°，推出当△DCD1的面积最大时，四边形BEDF的面积最小，而当C位于的中点时，CM最大，即△DCD1的面积最大，根据勾股定理求出OD=OC=OD1= 20m及CM=(20-20)m，从而得出△DCD1的面积，最后求出四边形的面积.

解：（1）过点A作AD⊥BC于D

∴∠ADC=90°

∵∠C=45°，AC=3

∴AD2+DC2=(3)2，

∵∠C=45

∴AD=DC=3

∵∠B=60°

∴BD=，AB=

∴的周长=AB+BD+DC+AC=2++3+3=

（2）

如图，将△BCD绕点B逆时针旋转90°，C点落在A点上，D点落在D1上

∴△BAD1≌△BCD

∴∠BAD1=∠C

∵∠BAD1+∠BAD=∠C+∠BAD=360-∠ADC-∠ABC=180°

∴D1，A，D三点共线

∵△BAD1≌△BCD

∴∠CBD=∠ABD1，BD1=BD=8

∴∠BAD1+∠ABD=∠BCD+∠ABD

即∠D1BD=∠ABC=90°

∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD

= S△ABD+

=

=BDBD1

=×8×8

=32.

（3）

将△ABD以点B为旋转中心顺时针旋转，使点A旋转到点C，点D旋转到D1，点E旋转到点E1.

∴△ABD≌△CBD1

作DH⊥BD1，则BD=BD1=100m，∠ABC=∠DBD1

∵sin∠ABC=sin∠DBD1=0.8

∴DH=80m

∴=4000m

∵

∴∠A+∠BCD=225°

∴∠BCD+∠BCD1=225°

∴∠BCD1=135°

当△DCD1的面积最大时，四边形BEDF的面积最小

∵△BDE≌△BD1E1

又DD1==40m

以DD1为弦，以DD1为底边的等腰直角三角形的顶点O为圆心画弧DD1，

DD1上任意一点和DD1构成的圆周角都是135°

∴当C位于的中点时，CM最大，即△DCD1的面积最大

∵△ODD1为等腰直角三角形，DD1=40m

∴OD==20m

即OD=OC=OD1= 20m

∴CM=(20-20)m

∴=×40×(20-20)=(2000-2000)m2

∴S四边形BEDF=×[4000-(2000-2000)]=( )m2

故答案为（1）；（2）32；（3）