Question

【题目】数学课上，老师出示了如下框中的题目：

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE_______DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为3，AE＝5，求CD的长（请你直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）＝，见解析；（3）CD的长是8或2

【解析】

（1）利用等腰三角形三线合一的性质以及等边三角形的性质可以得出∠BCE=∠ACE=30°，又根据ED=EC得到∠D=∠ECD=30°，可进一步得出∠D=∠DEB，推出BD=BE即可解决问题；
（2）作EF∥BC交AC于F，先证明△AEF为等边三角形，再证明△DBE≌△EFC即可解决问题；
（3）分四种情形：①当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时，由（2）同理可得BD=AE，再根据CD=BD+BC即可求出结果；②当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，先求出CM的长，从而可得出CD的长；③当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时，由于∠ECD＞∠EBC，此时不存在EC＝ED；④当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，有∠ECD＞∠EDC，此时情况不存在．

解：（1）如图1中，结论：AE=BD．
∵△ABC是等边三角形，AE=EB，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴BD=BE=AE．
故答案为：=．

（2）AE＝DB．

理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，

∴∠AEF＝∠AFE＝∠BAC＝60°，

∴AE＝AF＝EF，

∴AB﹣AE＝AC﹣AF，

即BE＝CF，

∵∠ABC＝∠EDB+∠BED，∠ACB＝∠ECB+∠FCE，

∵ED＝EC，

∴∠EDB＝∠ECB，

∴∠BED＝∠FCE，

在△DBE和△EFC中

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB＝EF，

∴AE＝BD，

故答案为：＝．

（3）分为四种情况：

①当点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图：

∵AB＝AC＝3，AE＝5，

同（2）可得BD=AE，

∴BD＝AE＝5，

∴CD＝3+5＝8；

②当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，

∴∠AEM=90°-∠B=30°，

∴BM＝BE＝×（3+5）＝4，

∴CM＝BM-BC＝4﹣3＝1，

∵EC=ED，EM⊥CD，

∴CD＝2CM＝2；

③当点E在AB的延长线上，点D在BC的延长线上时，如图，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC＝ED；

④当点E在BA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

综上所述：CD的长是8或2．