Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】当运动时间t为2.5或3或3.6秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】

试题分析：由勾股定理求出AC，分三种情况：①CD=BD时，∠C=∠DBC，证出BD=AD，得出CD=AD=AC=2.5，即可得出结果；②当CD=BC时，CD=3，即可得出结果；③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，则CF=DF，由三角形的面积求出BF，由勾股定理求出CF，得出CD，即可得出结果．

解：∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴AC==5，

分三种情况：

①CD=BD时，∠C=∠DBC，

∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，

∴∠A=∠DBA，

∴BD=AD，

∴CD=AD=AC=2.5，即t=2.5；

②当CD=BC时，CD=3，即t=3；

③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，如图所示：

则CF=DF，△ABC的面积=ABBC=ACBF，

∴BF==2.4，

∴CF===1.8，

∴CD=3.6，即t=3.6．

综上所述：当运动时间t为2.5或3或3.6秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．