Question

13．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）如图2，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）图1中，若AB=4，BG=3，求EF长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义和平行线的性质求出∠AED=∠BFA=90°，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△AFB和△DEA全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF；
（2）根据同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△FAD和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CE，全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（3）先利用勾股定理，求出AG的长，再根据△ABG面积的两种算法，求出BF的长度，根据勾股定理求出AF的长度，由AE=BF，EF=AF-AE，即可解答．

解答 解：（1）∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F，
∴∠AED=∠BFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=9{0}^{°}}\\{∠BAF=∠ADE}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）DF=CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，
∴∠FAD=∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF=DE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
在△FAD和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DE}\\{∠FAD=∠EDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠DCE+∠CDF=90°，
∴DF⊥CE；
（3）∵AB=4，BG=3，∠ABG=90°，
∴AG=$\sqrt{A{B}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵∠BFA=90°，
∴$\frac{1}{2}$AB•BG=$\frac{1}{2}$AG•BF
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5BF$，
∴BF=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AFB中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}=\frac{16}{5}$，
∵AE=BF，
∴EF=AF-AE=AF-BF=$\frac{16}{5}-\frac{12}{5}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．