Question

10．如图是矩形纸片ABCD．AB=16cm，BC=40cm，M是边BC的中点，沿过M的直线翻折．若点B恰好落在边AD上，那么折痕长度为10$\sqrt{5}$或8$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 过F作ME⊥AD于E，可得出四边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE=BF，AB=EM，分两种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE-B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB-AG表示出BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE-AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG的长．

解答 解：分两种情况考虑：
（i）如图1所示，过M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM，
又∵BC=40，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=20，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E=$\sqrt{B′{M}^{2}-E{M}^{2}}$=12，
∴AB′=AE-B′E=20-12=8，
设AG=x，则有GB′=GB=16-x，
在Rt△AGB′中，根据勾股定理得：GB′²=AG²+A′B′²，
即（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴GB=16-6=10，
在Rt△GBM中，根据勾股定理得：GM=$\sqrt{G{B}^{2}+B{M}^{2}}$=10$\sqrt{5}$；
（ii）如图2所示，过M作ME⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四边形ABME为矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM，
又BC=40，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=20，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E=$\sqrt{B′{M}^{2}-E{M}^{2}}$=12，
∴AB′=AE+B′E=20+12=32，
设AG=A′G=y，则GB′=AB′-AG=AE+EB′-AG=32-y，A′B′=AB=16，
在Rt△A′B′G中，根据勾股定理得：A′G²+A′B′²=GB′²，
即y²+16²=（32-y）²，
解得：y=12，
∴AG=12，
∴GE=AE-AG=20-12=8，
在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM=$\sqrt{G{E}^{2}+E{M}^{2}}$=8$\sqrt{5}$；
综上所述，折痕MG=10$\sqrt{5}$或8$\sqrt{5}$．
故答案为：10$\sqrt{5}$或8$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．