Question

已知抛物线y=x²-1，直线l过点P（0，2）与抛物线交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的解析式为y=kx+2，则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，利用两函数的交点问题，通过解方程组

y=kx+2 y=x2-1

得x²-kx-3=0，根据根与系数的关系得x₁+x₂=k，x₁•x₂=-3，然后利用勾股定理和两点间的距离公式得到x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，整理得x₁•x₂+y₁•y₂=0，再把y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2代入后变形得到x₁•x₂+k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，于是可得到关于k的方程-3-3k²+2k•k+4=0，接着解方程求出k即可得到直线l的解析式．

解答：解：如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的解析式为y=kx+2，则y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
由方程组

y=kx+2 y=x2-1

得x²-1=kx+2，整理得x²-kx-3=0，则x₁+x₂=k，x₁•x₂=-3，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴x₁•x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
整理得x₁•x₂+k²x₁•x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴-3-3k²+2k•k+4=0，解得k=1或-1，
∴直线l的解析式为y=x+2或y=-x+2．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

．也考查了利用解方程组求两函数的交点坐标和两点间的距离公式．