Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tan∠CDA=

2

3

，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连接OD，如图，先证明∠CDA=∠ODB，再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°，则∠ADO+∠CDA=90°，即∠CDO=90°，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由于∠CDA=∠ODB，则tan∠CDA=tan∠ABD=

2

3

，根据正切的定义得到tan∠ABD=

AD

BD

=

2

3

，接着证明△CAD∽△CDB，由相似的性质得

CD

BC

=

AD

BD

=

2

3

，然后根据比例的性质可计算出CD的长．

解答： （1）证明：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠BDO，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA=∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠CDA=90°，
即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的长线；
（2）解：∵∠CDA=∠ODB，
∴tan∠CDA=tan∠ABD=

2

3

，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

BD

=

2

3

，
∵∠DAC=∠BAD，∠CDA=∠CBD，
∴△CAD∽△CDB，
∴

CD

BC

=

AD

BD

=

2

3

，
∴CD=

2

3

×6=4．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．