【题目】如图1,D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点,DQ⊥AB交边BC于点Q,RQ⊥BC交边AC于点R,RP⊥AC交边AB于点E,交QD的延长线于点P.
图1 图2
①请说明△PQR是等边三角形的理由;
②若BD=1.3㎝,则AE=_______㎝(填空)
③如图2,当点E恰好与点D重合时,求出BD的长度.
【答案】(1)详见解析;(2)2.4cm;(3).
【解析】
(1)△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°;(2)灵活运用Rt△中30°所对的边是斜边的一半的知识;(3)根据(1)(2)得△BDQ≌△RQC≌△ADR(AAS),得3DB=AB易求结果.
解:(1)根据题意,△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°.
又∵DQ⊥AB,
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°,
∴∠PQR=60°.
同理,得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形;
(2)∠DQB=30°,BD=1.3cm,
∴BQ=2.6cm,
CQ=4-2.6=1.4cm,
∠QRC=30°,
∴CR=2.8cm,
AR=4-2.8=1.2cm,
∠AER=30°,
AE=2AR=2.4cm;
(3)由(1)(2)可得△BDQ≌△RQC≌△ADR(AAS),
∴DB=AR,
∵RQ⊥BC,∠A=60°,
∴2AR=AD,
∴3DB=AB,
∴DB=(cm).
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【题目】如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2)
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【题目】如图(1),一架梯子长为5m,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙3m.如果梯子的顶端下滑了1m(如图(2)),那么梯子的底端在水平方向上滑动的距离为( ).
A.1mB.大于1m
C.不大于1mD.介于0.5m和1m之间
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【题目】如图AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切点为D,CD与AB的延长线交于点E,∠ADC=60°.
(1)求证:△ADE是等腰三角形;
(2)若BE=2,求图中阴影部分面积(结果保留π).
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【题目】在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,点D是射线CB上的一个动点,△ADE是等边三角形,点F是AB的中点,联结EF.
(1)如图,当点D在线段CB上时,
①求证:△AEF≌△ADC;
②联结BE,设线段CD=x,线段BE=y,求y关于x的函数解析式及定义域;
(2)当∠DAB=15°时,求△ADE的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
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【题目】如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的长.
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【题目】在将式子(m>0)化简时,
小明的方法是:=
=
=
;
小亮的方法是: ;
小丽的方法是:.
则下列说法正确的是( )
A. 小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确
B. 小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确
C. 小明、小亮、小丽的方法都正确
D. 小明、小丽、小亮的方法都不正确
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【题目】如图,已知点D在⊙O的直径AB延长线上,点C在⊙O上,过点D作ED⊥AD,与AC的延长线相交于点E,且CD=DE.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若AB=12,且BC=CE时,求BD的长.
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