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【题目】RtABC中,∠C90°,∠B30°,AB10,点D是射线CB上的一个动点,△ADE是等边三角形,点FAB的中点,联结EF

(1)如图,当点D在线段CB上时,

求证:△AEF≌△ADC

联结BE,设线段CDx,线段BEy,求y关于x的函数解析式及定义域;

(2)当∠DAB15°时,求△ADE的面积.

【答案】(1)①证明见解析;②函数的解析式是y,定义域是0x5(2)ADE的面积为50+75

【解析】

1)①在直角三角形中,由30度所对的直角边等于斜边的一半求出的长,再由中点,得到,确定出三角形为等边三角形,利用等式的性质得到一对角相等,再由,利用即可得证;

②由全等三角形对应角相等得到为直角,,在三角形中,利用勾股定理即可列出关于的函数解析式及定义域;

2)分两种情况考虑:①当点D在线段上时;②当点D在线段的延长线上时,分别求出三角形面积即可.

(1)①在RtABC中,

∵∠B30°,AB10

∴∠CAB60°,ACAB5

∵点FAB的中点,

AFAB5

ACAF

∵△ADE是等边三角形,

ADAE,∠EAD60°,

∵∠CAB=∠EAD,即∠CAD+DAB=∠FAE+DAB

∴∠CAD=∠FAE

在△AEF和△ADC中,

∴△AEF≌△ADC(SAS)

②∵△AEF≌△ADC

∴∠AFE=∠C90°,EFCDx

又∵点FAB的中点,

AEBEy

RtAEF中,勾股定理可得:y225+x2

∴函数的解析式是,定义域是

(2)①当点D在线段CB上时,

由∠DAB15°,可得∠CAD45°,△ADC是等腰直角三角形,

AD250

ADE的面积为

②当点D在线段CB的延长线上时,

由∠DAB15°,可得∠ADB15°,BDBA10

∴在RtACD中,勾股定理可得

ADE的面积为

综上所述,△ADE的面积为

练习册系列答案
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1 2

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1)求证:⊿AEP≌⊿BAG

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3)如图2,若连接EFGA的延长线于H,由(2)中的结论你能判断EHFH的大小关系吗?并说明理由;

4)在(3)的条件下,若BC=AG=10,请直接写出SAEF= .

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