Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①。

（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？并说明理由。

（2）若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？直接写出结论。

（3）若点P在CD的延长线上呢，如图③，直接写出结论。

Answer 1

【答案】（1）EF=BE-DF；（2）EF=DF-BE；（3）EF=BE+DF.

【解析】

（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF，理由为：由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形DFA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AF，AE=DF，根据AF-AE=EF，等量代换即可得证；

（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：EF=DF-BE，理由同（1）；

（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：EF=BE+DF，理由同（1）．

解：（1）∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AF-AE=EF，

∴EF=BE-DF．

（2）在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：EF=DF-BE；；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE-AF=EF，

∴EF=DF-BE；．

（3）在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：EF=BE+DF.，

理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE+AF=EF，

∴EF=BE+DF.．