Question

【题目】如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF．

（1）如图1，试说明；

（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

【答案】(1)、略 (2)、

【解析】

（1）延长ED至G，使得DG=DE，根据△CDG≌△BDE，得到CG=BE；

（2）根据∠FCG=90°得到CG+CF=FG，根据中垂线的性质得到FG=EF，从而得到所求的结论.

（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，

∵DE=DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF=FG，
∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE=90°，
∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，
∵CG2+CF2=FG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）解：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，

∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，
∴S四边形AEDF=S△ABC，