Question

如图，△ABC的两顶点分别为B（0，0），C（4，0），顶点A在直线l：y=-

1

2

x+3上．
（1）当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，求点A的坐标；
（2）当△ABC的面积为4时，求点A的坐标；
（3）在直线l上是否存在点A，使∠BAC=90°？若存在，求出点A的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）以BC为底的等腰三角形，点A是BC的中垂线与直线l的交点；
（2）根据△ABC的面积求得点A的纵坐标，把点A的纵坐标代入直线方程即可求得其横坐标；
（3）根据圆周角定理知：点A是以BC为直径的圆与直线l的交点．

解答：解：（1）如图1，当△ABC是以BC为底的等腰三角形时，点A在BC的中垂线上．
∵B（0，0），C（4，0），
∴BC的中垂线为x=2．
又点A在直线l：y=-

1

2

x+3上，
∴y=-

1

2

×2+3=2，
即A（2，2）；

（2）设A（a，b）．则依题意得

1

2

BC•|b|=4，即

1

2

×4|b|=4，
解得|b|=2
∴b=±2．
①当b=2时，2=-

1

2

a+3，
解得 a=2
则A（2，2）；
②当b=-2时，-2=-

1

2

a+3，
解得 a=10
则A（10，-2）．
综上所述，点A的坐标是（2，2）或（10，-2）；

（3）假设在直线l上是否存在点A（x，y），使∠BAC=90°．如图2，则点A是以BC为直径的圆与直线l的交点，则

(x-2)2+y2=4 y=- 1 2 x+3

，
解得

x=2 y=2

或

x=3.6 y=1.2

，
则点A的坐标是（2，2），或（3.6，1.2）．
所以，在直线l上存在点A，使∠BAC=90°，此时点A的坐标是（2，2），或（3.6，1.2）．

点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式以及圆周角定理等知识点．解（2）题的过程中，一定要对点A的纵坐标进行分类讨论，以防漏解．