Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.

(1)若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值

(2)若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】(1) ∠MPB＝40°;(2) ∠BAC＋∠ABP＝120°．证明见解析

【解析】试题分析：（1）由AB=AC，∠BAC=80°，可求∠ABC=∠ACB=50°,又∠PBC=10°，∠ABP=2∠ACM，可求∠BCM=30°，由三角形外角的性质可求出结果；

（2）过点A作底边BC的中线AD，连接BM，由等腰三角形三线合一的性质可得∠CAM=∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM．进而证明△ABM≌△PBM．可证出∠AMB=120°，进而得出结论.

试题解析：（1）∵ AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∵∠BAC=80°，

∴∠ABC=∠ACB=50°．

∵∠PBC=10°，

∴∠ABP=40°．

∵∠ABP=2∠ACM，

∴∠ACM=20°．

∴∠BCM=30°．

∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；

（2）∠BAC＋∠ABP=120°．

证明：过点A作底边BC的中线AD，

∵AB=AC，

∴AD是∠BAC的平分线．

∵点M在底边BC的中线上，

∴点M在∠BAC的平分线AD上．

即AM平分∠BAC．

∴∠CAM=∠BAM．

∴连接BM，又AM是公共边

△ABM≌△ACM．

∴∠ACM=∠ABM．

∠ABP=2∠ACM，

∴∠ABP=2∠ABM．

∴∠ABM=∠PBM．

∵BP=AC，

∴BP=AB．

∴△ABM≌△PBM．

∴∠AMB=∠PMB．

又∵△ABM≌△ACM，

∴∠AMB=∠AMC．

∴∠AMB=∠AMC=∠PMB．

∴∠AMB=120°．

∴∠BAM＋∠ABM=60°．

∵∠BAC=2∠BAM，

∠ABP=2∠ABM，

∴∠BAC＋∠ABP=120°．