Question

如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO=∠BCD；

（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．

　

Answer 1

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．

（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余

∴∠BCD=∠BAC．（3分）

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．

∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，

CE=CD=×24=12cm，（6分）

在Rt△CEO中，由勾股定理可得

OC²=OE²+CE²，即R²=（R﹣8）²+12²（8分）

解得R=13，∴2R=2×13=26cm．

答：⊙O的直径为26cm．（10分）

【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．