Question

【题目】已知，，点在线段上，是直线上一点．

(1)如图1，若，点在的延长线上，且．求证：；

(2)如图2，若，点是的中点，点在线段上，点是上的一个动点(点与点，不重合)，矩形的顶点，分别在，上．探究与的关系，并给出证明；

(3)在(2)的条件下，当点满足什么条件时，线段的长最短?(直接给出结论，不必说明理由)

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）点与点重合时，线段的值最小

【解析】

（1）过点作的平行线交于点，证明为等边三角形，证明，证BE=AD；

（2）连接CD，证明是等腰直角三角形，证明，可证得所需结果；

（3）由，得DE，DF同时最短时，EF最短，此时可得P与D重合

证明：(1)过点作的平行线交于点，

．

是等边三角形

，

，

是等边三角形．

．

．

，

．

又，

，

，

，．

(2) ．

证明：连接．

是等腰直角三角形，， 点是的中点，

．

∵四边形PECF是矩形，

，

是等腰直角三角形，

，

，

在和中，

(3)∵DE=DF，DEDF

∴

∴当DE和DF同时最短时，EF最短

∴当，时，二者最短

∴此时点P与点D重合

∴点P与点D重合时，线段EF最短．