【题目】已知,,点在线段上,是直线上一点.
(1)如图1,若,点在的延长线上,且.求证:;
(2)如图2,若,点是的中点,点在线段上,点是上的一个动点(点与点,不重合),矩形的顶点,分别在,上.探究与的关系,并给出证明;
(3)在(2)的条件下,当点满足什么条件时,线段的长最短?(直接给出结论,不必说明理由)
【答案】(1)见解析;(2),证明见解析;(3)点与点重合时,线段的值最小
【解析】
(1)过点作的平行线交于点,证明为等边三角形,证明,证BE=AD;
(2)连接CD,证明是等腰直角三角形,证明,可证得所需结果;
(3)由,得DE,DF同时最短时,EF最短,此时可得P与D重合
证明:(1)过点作的平行线交于点,
.
是等边三角形
,
,
是等边三角形.
.
.
,
.
又,
,
,
,.
(2) .
证明:连接.
是等腰直角三角形,, 点是的中点,
.
∵四边形PECF是矩形,
,
是等腰直角三角形,
,
,
在和中,
(3)∵DE=DF,DEDF
∴
∴当DE和DF同时最短时,EF最短
∴当,时,二者最短
∴此时点P与点D重合
∴点P与点D重合时,线段EF最短.
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【题目】为了解本校九年级学生期末数学考试情况,小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本,分为分)、分)、分)、分)四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下统计图表,请你根据统计图解答以下问题:
其中组的期末数学成绩如下
(1)请补全条形统计图;
(2)这部分学生的期末数学成绩的中位数是 ,组的期末数学成绩的众数是 ;
(3)这个学校九年级共有学生人,若分数为分(含分)以上为优秀,请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少?
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【题目】随着我国经济社会的发展,人民对于美好生活的追求越来越高.某社区为了了解家庭对于文化教育的消费悄况,随机抽取部分家庭,对每户家庭的文化教育年消费金额进行问卷调査,根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表.
请你根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
组別 | 家庭年文化教育消费金额x(元) | 户数 |
A | x≤5000 | 36 |
B | 5000<x≤10000 | m |
C | 10000<x≤15000 | 27 |
D | 15000<x≤20000 | 15 |
E | x>20000 | 30 |
(1)本次被调査的家庭有__________户,表中 m=__________;
(2)本次调查数据的中位数出现在__________组.扇形统计图中,D组所在扇形的圆心角是__________度;
(3)这个社区有2500户家庭,请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户?
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【题目】如图,点A、点D为⊙O上两点,线段BC切⊙O于点B,点D在BC的垂直平分线上,CD∥OA,sin∠BCD=,OA=2BD,若BC=,则⊙O的半径为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,点A在以BC为直径的⊙O上,连接AB、AC,点H为AB的中点.过点H的弦DE⊥BC于点F,连接CD、CH.
(1)求证:AB2=2BC·BF
(2)取AC的中点G,连接HG,过点D作线段DI与AC交于点J,与HJ的延长线交于点I.若AB=AG=4,求DJ的长.
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【题目】在新冠状病毒的影响下,某学校积极响应政府号召,开展了“停课不停学”网上授课工作,为了网上授课工作顺利开展和取得良好成效,该校在授课第一周和授课第二周分别随机抽取部分学生进行“网上授课教学效果反馈”网上调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图,调查显示:两次调查反馈教学效果为“较差”人数相等,第二周反馈教学效果为“很好”人数比例比第一周多,请根据调查显示和统计图中的信息解决下列问题:
在图1中,表示“较好”的扇形圆心角的度数为_ 度,并把图2条形统计图补充完整;
若把调查反馈教学效果“很好”和“较好”作为网上授课成效良好的标准,该校大约有名学生,请估计授课第二周学校网上授课成效良好的学生人数;
有一位家长认为,两次调查反馈授课效果为“较差”人数相等,因此学校在一周后调整的措施并没有提高网上授课效果,这位家长分析数据的方法合理吗?请结合统计图,对这位家长分析数据的方法及学校在一周后调整措施对网上授课效果的影响谈谈你的看法.
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【题目】在奉贤创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色道砖铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.请解答下列问题:
(1)求乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;
(2)如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务.求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米?
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【题目】某校为提高学生体考成绩,对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练.为了解学生训练效果,学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试,学生成绩均为整数,满分20分,大于18分为优秀.现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析.(成绩得分用x表示,共分成五组:A.x<13,B.13≤x<15,C.15≤x<17,D.17≤x<19,E.19≤x≤20)
开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是:17,17,17,17,17,18,18.
学期末抽取学生成绩统计表
学生成绩 | A组 | B组 | C组 | D组 | E组 |
人数 | 0 | 1 | 4 | 5 | a |
分析数据:
平均数 | 中位数 | 众数 | |
开学初抽取学生成绩 | 16 | b | 17 |
学期末抽取学生成绩 | 18 | 18.5 | 19 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出图表中a、b的值,并补全条形统计图;
(2)假设该校九年级学生都参加了两次测试,估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少?
(3)小莉开学初测试成绩16分,学期末测试成绩19分,根据抽查的相关数据,请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果.
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【题目】近期,某国遭遇了近年来最大的经济危机,导致该国股市大幅震荡,昨天某支股票累计卖出的数量和交易时间之间的关系如图中虚线所示,累计买入的数量和交易时间之间的关系如图中实线所示,其中点A是实线和虚线的交点,点C是BE的中点,CD与横轴平行,则下列关于昨天该股票描述正确的是( )
A.交易时间在3.5h时累计卖出的数量为12万手
B.交易时间在1.4h时累计卖出和累计买入的数量相等
C.累计卖出的数量和累计买入的数量相差1万手的时刻有5个
D.从点A对应的时刻到点C对应的时刻,平均每小时累计卖出的数量小于买入的数量
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