【题目】如图,点A在以BC为直径的⊙O上,连接AB、AC,点H为AB的中点.过点H的弦DE⊥BC于点F,连接CD、CH.
(1)求证:AB2=2BC·BF
(2)取AC的中点G,连接HG,过点D作线段DI与AC交于点J,与HJ的延长线交于点I.若AB=AG=4,求DJ的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)直接证明△BFH∽△BAC,得到=,而BH= ,即可得到结论;
(2)先由cos∠FBH==得到BF=,再由勾股定理及线段的和差关系得到DH= HG=,再由tan∠HDI==得到HI=,从而得到GI,DI,OI的值,又易得△OCJ∽△IGJ,得到=,从而得到关键关系:,进而根据DJ=OD+OJ得解.
解:(1)证明:∵BC为⊙O的直径,DE⊥BC
∴∠BFH=∠BAC=90°
∵∠FBH=∠ABC, 点H为AB的中点
∴△BFH∽△BAC,BH=
即=即=BC·BF
AB2=2BC·BF
(2)∵点H为AB的中点,点G为AC的中点
∴AH=BH===2,AC=2AG=8,HG, HG
∵∠BFH=∠BAC=90°∴BC==,HG=,∠BFH=∠DHI=90°
∴cos∠FBH==
∴=
∴BF=
∴Rt△BFH中:由勾股定理可得:FH==
∵⊙O的直径为 ∴OB=OC=, OF=OB - BF=-=
∵∠OFD=∠BFH=90°
∴DF==,DH=DF+FH==HG
∵tan∠HDI====即HI=, IG=HI - HG=-=
∴Rt△DHI中:由勾股定理可得:DI==, OI=DI - OD=-=
∵HG∥AC
∴△OCJ∽△IGJ
∴=
∴,
∴OJ=3IJ
∴
∴DJ=OD+OJ=+=
∴DJ的长为
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【题目】下列说法正确的是( )
A.打开电视,它正在播天气预报是不可能事件
B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查
C.抛掷一枚均匀的硬币,正面朝上的概率是,若抛掷10次,就一定有5次正面朝上.
D.甲、乙两人射中环数的方差分别为,,说明乙的射击成绩比甲稳定
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【题目】如图是某款篮球架的示意图,支架AC与底座BC所成的∠ACB=65°,支架AB⊥BC,篮球支架HE∥BC,且篮板DF⊥HE于点E,已知底座BC=1米,AH=米,HF= 米,HE=1米.
(1)求∠FHE的度数;
(2)已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定,求DE的长度.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.41,≈1.41)
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【题目】如图,已知抛物线交轴于两点,交轴正半轴于,且.
(1)求两点的坐标;
(2)是第二象限抛物线上一点,坐标为,连接,求的面积;
(3)在(2)的条件下,是第一象限抛物线上一点,连接交轴于,连接并延长交抛物线与点,连接交轴于,将点绕点逆时针旋转90°得到点连接,若轴,求Q点坐标.
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【题目】如图,AB=BC,点D为边AB的中点,点G为AC边的中点,AF∥BC且AD=AF.点E为DF与AC的交点,若AB=6,AE=1,则CF的长为___.
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【题目】已知,,点在线段上,是直线上一点.
(1)如图1,若,点在的延长线上,且.求证:;
(2)如图2,若,点是的中点,点在线段上,点是上的一个动点(点与点,不重合),矩形的顶点,分别在,上.探究与的关系,并给出证明;
(3)在(2)的条件下,当点满足什么条件时,线段的长最短?(直接给出结论,不必说明理由)
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【题目】如图1,四边形内接于直径为的圆,.
(1)①_ ;
②四边形的周长最大值为_ ;
如图2,延长相交于点,延长相交于点求与的积;
如图3,连接请问在线段上是否存在点与点关于直线对称,若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,c>0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y=ax2+bx+c | … | p | t | n | t | 0 | … |
有下列结论:①b>0;②关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是0和3;③p+2t<0;④m(am+b)≤﹣4a﹣c(m为任意实数).其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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