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【题目】如图,点A在以BC为直径的⊙O上,连接ABAC,点HAB的中点.过点H的弦DE⊥BC于点F,连接CDCH

1)求证:AB2=2BC·BF

2)取AC的中点G,连接HG,过点D作线段DIAC交于点J,与HJ的延长线交于点I.若AB=AG=4,求DJ的长.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)直接证明△BFH∽△BAC,得到=,而BH= ,即可得到结论;

2)先由cosFBH==得到BF=,再由勾股定理及线段的和差关系得到DH= HG=,再由tanHDI==得到HI=,从而得到GIDIOI的值,又易得△OCJ∽△IGJ,得到=,从而得到关键关系:,进而根据DJ=OD+OJ得解.

解:(1)证明:∵BC为⊙O的直径,DEBC

∴∠BFH=BAC=90°

∵∠FBH=ABC, HAB的中点

∴△BFH∽△BACBH=

==BC·BF

AB2=2BC·BF

2)∵点HAB的中点,点GAC的中点

AH=BH===2AC=2AG=8HG, HG

∵∠BFH=BAC=90°∴BC==HG=,∠BFH=DHI=90°

cosFBH==

=

BF=

RtBFH中:由勾股定理可得:FH==

∵⊙O的直径为 OB=OC= OF=OB - BF=-=

∵∠OFD=BFH=90°

DF==DH=DF+FH==HG

tanHDI====HI= IG=HI - HG=-=

RtDHI中:由勾股定理可得:DI== OI=DI - OD=-=

HGAC

∴△OCJ∽△IGJ

=

OJ=3IJ

DJ=OD+OJ=+=

DJ的长为

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x

1

0

1

2

3

yax2+bx+c

p

t

n

t

0

有下列结论:①b0关于x的方程ax2+bx+c0的两个根是03③p+2t0④mam+b)≤﹣4acm为任意实数).其中正确结论的个数是(  )

A.1B.2C.3D.4

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