Question

15．如图，O为圆内接四边形ABCD对角线的交点，OE⊥AB．OF⊥BC，OG⊥CD，OA⊥DA，求证：EH+FG=EF+HG．

Answer 1

分析 由E、O、F、B四点共圆，且OB是直径，根据正弦定理可知，EF=OB•sin∠ABC，同理可证，HG=OD•sinADC，EH=OA•sin∠BAC，FG=OC•sin∠BCD，推出EF+GH=（OB+OD）sin∠ABC=BD•sin∠ABC，EH+FG=（OA+OC）sin∠BAD=AC•sin∠BAD，根据四边形ABCD四点共圆，设直径为2R，则有$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=2R，由此即可证明．

解答 证明：∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∴∠OEB+∠OFB=180°，
∴E、O、F、B四点共圆，且OB是直径，
由正弦定理可知，EF=OB•sin∠ABC，
同理可证，HG=OD•sinADC，EH=OA•sin∠BAC，FG=OC•sin∠BCD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC=∠ADC，∠BAC=∠BCD，
∴sin∠ABC=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠BCD，
∴EF+GH=（OB+OD）sin∠ABC=BD•sin∠ABC，
EH+FG=（OA+OC）sin∠BAD=AC•sin∠BAD，
∵四边形ABCD四点共圆，设直径为2R，
则有$\frac{AC}{sin∠ABC}$=$\frac{BD}{sin∠BAD}$=2R，
∴BD•sin∠ABC=AC•sinBAD，
∴EF+GH=EH+FG．

点评 本题考查圆内接四边形的性质、四点共圆、正弦定理等知识，解题的关键是灵活应用正弦定理解决问题，题目有一定的难度，对于初中学生来说知识点超纲．