Question

【题目】在Rt中，，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过B作BH⊥CF于G，交AC于H．

（1）如图1，延长GH到点E，使GE=GC，连接AE，求的度数；

（2）如图2，若F为AB中点，连接FH，请探究BH、FH、CF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BH+HF＝CF，理由见解析

【解析】

（1）过点A作AP⊥AB于点P，先找条件证明△ABP≌△BCG，根据对应边相等，以及边的关系，得到PE=PA，又AP⊥PE，得到△APE是等腰直角三角形，即可得到∠E的度数；

（2）过点A作AK⊥AB交BH的延长线于点K，推出Rt△BAK≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得到AK=BF，BK=CF．由F为AB的中点，得到AF=BF，等量代换得到AK=AF，证得△AHK≌△AHF，得到KH=FH．根据线段的和差即可得到结论；

（1）解：过点A作AP⊥AB于点P．

∵BH⊥CF，

∴∠APB＝∠CGB＝90°，

∵，

∴∠ABP+∠GBC＝∠CBG+∠GBC＝90°，

∴∠ABP＝∠CBG，

在△ABP与△BCG中，

∴△ABP≌△BCG(AAS)，

∴BP=CG，AP=BG，

∵GE=GC，

∴BP=GE，

∴PE=BG，

∴PE=PA，

又∵

∴△APE是等腰直角三角形，．

（2）解：BH+HF＝CF，理由如下：

过点A作AK⊥AB交BH的延长线于点K．

∴∠BAK＝∠CBF＝90°，

∴∠K+∠ABK＝∠CFB+∠ABK＝90°，

∴∠K＝∠CFB，

在△ABK与△BCF中，

，

∴△ABK≌△BCF(AAS)，

∴AK＝BF，BK＝CF．

∵F为AB的中点，

∴AF＝BF，

∴AK＝AF，

又∵△APE是等腰直角三角形， ．

∴∠HAK＝∠HAF

在△AKH与△AFH中，

∴△AKH≌△AFH(SAS)，

∴HK＝HF，

∴BH+HF＝BH+HK＝BK＝CF．