Question

【题目】在 RtABC 中,ACB 90，点O在 BC 上，经过点 的⊙ O 与 BC ，AB 分别相交于点 D ，E 连接 CE ， CE CA ．

（1）求证： CE 是⊙ O 的切线；

（2）若 tan ABC ，BD 4，求CD 的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

(1) 连接OE,由CE=CA得∠A=∠CEA，由OE=OB得∠B=∠OEB，故∠CEA+∠OEB=90°，所以∠OEC =90°；

（2）设CD的长为，则BC=+4，CO=2+，由tan∠ABC=，得AC=BC=(+4) ，由CE=CA，得CE=(+4) ，利用勾股定理得 .

(1) 解：连接OE,

∵CE=CA,

∴∠A=∠CEA,

∵OE=OB,

∴∠B=∠OEB,

∵∠ACB＝90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴∠CEA+∠OEB=90°,

∴∠OEC =90°,

∴CE是⊙的切线

（2）设CD的长为，

∵BD=4,

∴BC=+4，

CO=2+,

∵tan∠ABC=,

∴AC=BC=(+4) ,

∵CE=CA,

∴CE=(+4)

在Rt△CEO中，,

∴,

∴,

∴CD的长为.