Question

【题目】已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．

（1）如图1：求证：∠F＝∠D+∠E；

（2）如图2：连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；

（3）在（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：AF＝FG．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.

（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，

∵FM∥BD，FM∥HE

∴∠1＝∠D，∠2＝∠E

∵∠F＝∠1+∠2

∴∠F＝∠D+∠E

（2）

∵DF是角平分线

∴∠3＝∠5

又∵EF是角平分线

∴∠4＝∠6

又∵DB∥HE

∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800

∴∠5+∠6＝900

∴∠F＝900

（3）过F点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J

∵DA∥EH

∴∠AKF＝∠GIF＝900

∵DF是角平分线

∴KF＝FJ

EF是角平分线

∴FI＝FJ

∴KF＝FI

在△AKF和△GIF中

∴△AKF≌△GIF（AAS）

∴AF＝FG