Question

6．请阅读下面的材料：
如图（1）所示，等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，则BC=$\frac{a}{2}$；
（2）如图（2）所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm；
（3）如图（3）所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，那么BE：EA=3：1；
（4）如图（4）所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DM是AB的垂直平分线，BD=8cm，则AC=4cm；
（5）如图（5）所示，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理推知∠A=30，∠C=90°．
（2）根据线段垂直平分线的性质知CD=BD，则△ACD的周长等于AC+AB；
（3）如图3，连接AD．利用等腰三角形的性质、垂直的定义推知∠B=∠ADE=30°，然后由”30度角所对的直角边是斜边的一半“分别求得BE、AE的值；
（4）如图4，连接AD，由DM是AB的垂直平分线，得到AD=BD=8cm，根据外角的性质得到∠ADC=30°，根据直角三角形的性质得到结论；
（5）如图5，根据全等三角形的判定定理SAS可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．

解答 解：（1）∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，且∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=30，∠C=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{a}{2}$．
故答案为：$\frac{a}{2}$；

（2）如图2，∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴CD=BD，AD=BD．
又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．
故答案为：15cm；

（3）如图3，连接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，
∴∠BAD=60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠B=∠ADE=30°，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，AE=$\frac{1}{2}$AD，
∴BE：EA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD：$\frac{1}{2}$AD，
又∵BD=$\sqrt{3}$AD，
∴BE：AE=3：1．
故答案为：3：1；

（4）如图4，连接AD，
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=8cm，
∴∠DAB=∠B=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AD=4cm，
故答案为：4cm；

（5））BP=2PQ．理由如下：
∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠BAC=∠ACB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．