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【题目】已知如图,ABC,AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点AADBC,垂足为D,反向延长DAEF于点M.

(1)用圆规比较EMFM的大小.

(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?

【答案】(1)EM=FM;(2)证明见解析.

【解析】

(1)直接用圆规比较两线段的大小;(2)作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K.先说明Rt△EHA≌Rt△ADB, 得EH=AD,Rt△FKA≌Rt△ADC, 得FK=AD,得EH=FK,在Rt△EHK与Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM,得EM=FM.

解:(1)EM=FM

(2)作EH⊥AM,垂足为H,FK⊥AM,垂足为K,则∠AHE=90,∠AKF=90,

因为,AD⊥BC,

所以,∠ADB=90,

所以,∠ABD+∠BAD=90,

又因为,△ABE是等腰直角三角形,

所以,AE=AB,∠BAE=90,

所以,∠EAH+∠BAD=90,

所以,∠EAH=∠ABD,

所以,Rt△EHA≌Rt△ADB(AAS),

所以,EH=AD,

同理:

Rt△FKA≌Rt△ADC, FK=AD,

所以EH=FK

在Rt△EHK与Rt△FKM中,

所以,Rt△EHM≌Rt△FKM(AAS)

得EM=FM.

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