Question

【题目】如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.

(1)求证：EF∥BC；

(2)若EH＝4，HF＝2，求的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1）根据EF＝BD可得＝，进而得到，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.

（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.

(1)∵EF＝BD，

∴＝

∴

∴∠D＝∠DEF

又BD＝BC，

∴∠D＝∠C，

∴∠DEF=∠C

EF∥BC

(2)∵AB是直径，BC为切线，

∴AB⊥BC

又EF∥BC，

∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,

GF＝GE＝(HF+EH)=3，HG=1

DB平分∠EDF，

又BF∥CD，

∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH

∴HB＝HF＝2

∴cos∠BHG＝＝，∠BHG＝60°.

∴∠FDB＝∠BDE＝30°

∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝4，且弧BE所对圆心角＝60°.

∴弧BE＝×4＝