Question

若等腰梯形ABCD的上，下底之和为2，并且两条对角线所交的锐角为60°，则等腰梯形ABCD的面积为______．

Answer 1

分两种情况考虑：过O作OE⊥AB，反向延长交CD于F．
（i）当∠AOB=∠COD=60°
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴OA=OB，OC=OD
∵∠AOB=∠COD=60°
∴△OAB，△OCD均是等边三角形
设AB=x，则CD=2-x
∴OE=

3

2

x，OF=

3

2

（2-x）
∴EF=

3

∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×2×

3

=

3

；

（ii）当∠AOD=∠BOC=60°
∴∠AOB=∠COD=120°
∴∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=30°
设AB=x，则CD=2-x
∴OE=

3

6

x，OF=

3

6

（2-x）
∴EF=OE+OF=

3

3

∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

×2×

3

3

=

3

3

综上，等腰梯形ABCD的面积为

3

或

3

3

．