Question

平面内有四个不同的点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度的取值范围是

 

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Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理

专题：

分析：分两种情况进行讨论：①如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；②如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．

解答：解：分两种情况：
①如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，
∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
②如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四个点A、O、B、C共圆．
设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．
连接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵MA=MO，
∴△AMO是等边三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4．
综上所述，2≤OC≤4．
故答案为2≤OC≤4．

点评：本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．