Question

3．如图，已知点O （0，0），A （-5，0），B （2，1），抛物线l：y=-（x-h）²+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时抛物线l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为y_c，求y_c的最大值，此时抛物线l上有两点（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比较y₁与y₂的大小；
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．

Answer 1

分析 （1）把x=2，y=1代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函数的性质得到抛物线l的对称轴及顶点坐标；
（2）根据坐标的特征求出y_c，根据平方的非负性求出y_c的最大值，根据二次函数的性质比较y₁与y₂的大小；
（3）根据把线段OA分1：4两部分的点是（-1，0）或（-4，0），代入计算即可．

解答 解：（1）把x=2，y=1代入y=-（x-h）²+1，得：h=2，
∴解析式为：y=-（x-2）²+1，
∴对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，1）；
（2）点C的横坐标为0，则y_c=-h²+1，
∴当h=0时，y_c有最大值为1，
此时，抛物线为：y=-x²+1，对称轴为y轴，
当x≥0时，y随着x的增大而减小，
∴x₁＞x₂≥0时，y₁＜y₂；
（3）把线段OA分1：4两部分的点是（-1，0）或（-4，0），
把x=-1，y=0代入y=-（x-h）²+1，得：h=0或h=-2．
但h=-2时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去，
同样，把x=-4，y=0代入y=-（x-h）²+1，
得：h=-5或h=-3（舍去），
∴h的值为0或-5．

点评 本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键．