Question

15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=150°，AB边的中点，连接EC、ED，得到△EDC是等边三角形．取BF=AB并连接AF，若CF=3，则AF=6．

Answer 1

分析 作EM∥BF交AF于M，连接CM．首先证明△AED≌△MEC，推出∠EMC=∠EAD=150°，由∠EMC=120°，推出∠FMC=∠EMC-∠EMF=30°，由∠AFB=∠FMC+∠FCM=60°，推出∠FCM=∠FMC=30°，推出FC=FM=3，由AE=EB，EM∥BF，推出AM=MF=3，即可解决问题．

解答 解：作EM∥BF交AF于M，连接CM．

∵AB=AF，∠B=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠B=∠AFB=60°，
∴∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠AFB=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴EA=EM，
∵△EDC是等边三角形，
∴∠DEC=60°，DE=EC，
∵∠AEM=∠DEC=60°，
∴∠AED=∠MEC，
在△AED和△MEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EM}\\{∠AED=∠MEC}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△MEC，
∴∠EMC=∠EAD=150°，
∵∠EMC=120°，
∴∠FMC=∠EMC-∠EMF=30°，
∵∠AFB=∠FMC+∠FCM=60°，
∴∠FCM=∠FMC=30°，
∴FC=FM=3，
∵AE=EB，EM∥BF，
∴AM=MF=3，
∴AF=6．
故答案为6．

点评 本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．