【题目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A、C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,PE=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)是否存在点P使△PEF是Rt△?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(0<x<20);(2)当x=10或x=16,存在点P使△PEF是Rt△.
【解析】
试题分析:(1)在Rt△ABC中,根据三角函数可求y与x的函数关系式;
(2)分三种情况:①如图1,当∠FPE=90°时,②如图2,当∠PFE=90°时,③当∠PEF=90°时,进行讨论可求x的值.
试题解析:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,∴sinC=,∵PE⊥BC于点E,∴sinC=
=
,∵PC=x,PE=y,∴
(0<x<20);
(2)存在点P使△PEF是Rt△,①如图1,当∠FPE=90°时,四边形PEBF是矩形,BF=PE=x,四边形APEF是平行四边形,PE=AF=
x,∵BF+AF=AB=10,∴x=10;
②如图2,当∠PFE=90°时,Rt△APF∽Rt△ABC,∠ARP=∠C=30°,AF=40﹣2x,平行四边形AFEP中,AF=PE,即:40﹣2x=x,解得x=16;
③当∠PEF=90°时,此时不存在符合条件的Rt△PEF.
综上所述,当x=10或x=16,存在点P使△PEF是Rt△.
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【题目】如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AB=,∠DCF=30°,求四边形AECF的面积.(结果保留根号)
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【题目】有一张等腰三角形纸片,AB=AC=5,BC=3,小明将它沿虚线PQ剪开,得到△AQP和四边形BCPQ两张纸片(如图所示),且满足∠BQP=∠B,则下列五个数据,3,
,2,
中可以作为线段AQ长的有 个.
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【题目】甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米.甲同学先步行600米,然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校.已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ,公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍.甲乙两同学同时从家发去学校,结果甲同学比乙同学早到2分钟.
(1)求乙骑自行车的速度;
(2)当甲到达学校时,乙同学离学校还有多远?
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【题目】把几个图形拼成一个新的图形,再通过图形面积的计算,常常可以得到一些有用的式子,或可以求出一些不规则图形的面积.
(1)如图1,是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的方法计算这个图形的面积,你能发现什么结论,请写出来.
(2)如图2,是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B、C、G三点在同一直线上,连接BD和BF,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗?
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【题目】下列命题是真命题的是( )
A. 同位角相等 B. 有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 垂线段最短 D. 直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离
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