Question

15．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别于AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．

Answer 1

分析 （1）设直线DE的解析式为y=kx+b，将D（0，3），E（6，0）代入，利用待定系数法求出直线DE的解析式；由矩形的性质可得M点与B点纵坐标相等，将y=2代入直线DE的解析式，求出x的值，即可得到M的坐标；
（2）将点M（2，2）代入y=$\frac{m}{x}$，利用待定系数法求出反比函数的解析式，再由直线DE的解析式求出N点坐标，进而即可判断点N是否在该函数的图象上．

解答 解：（1）设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵D（0，3），E（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x+3=2，解得x=2，
∴M的坐标为（2，2）；

（2）∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象经过点M（2，2），
∴m=2×2=4，
∴该反比函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
∵直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴当x=4时，y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
∴N点坐标为（4，1），
∵4×1=4，
∴点N在函数y=$\frac{4}{x}$的图象上．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出两函数的解析式是解题的关键．